Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de integral duplaD(x^3 y+cos (x)) d A, onde a região D é definida por 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= x. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisamos integrar a função x^3 y + cos(x) primeiro em relação a y e depois em relação a x.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração D. Ela está limitada por x indo de 0 até pi2 e, para cada x, y vai de 0 até x. Isso significa que para cada valor de x, y varia linearmente de 0 até esse x. Visualizando isso, a área D é um triângulo no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x. A expressão fica assim:
integral0^pi2 ( integral0^x ( x^3 y + cos(x) ) dy ) dx
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y. Para isso, tratamos x como uma constante:
integral0^x ( x^3 y + cos(x) ) dy = x^3 integral0^x y , dy + cos(x) integral0^x dy
Passo 5
Calculando cada parte separadamente:
Para x^3 integral0^x y , dy:
integral0^x y , dy = [ 12 y^2 ]0^x = 12 x^2
Então:
x^3 cdot 12 x^2 = 12 x^5
Para cos(x) integral0^x dy:
integral0^x dy = y |0^x = x
Então:
cos(x) cdot x = x cos(x)
Passo 6
Somando as duas partes:
integral0^x ( x^3 y + cos(x) ) dy = 12 x^5 + x cos(x)
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi2 ( 12 x^5 + x cos(x) ) dx
Vamos resolver essa integral em duas partes:
12 integral0^pi2 x^5 dx + integral0^pi2 x cos(x) dx