Calcule as seguintes integrais: integral duplaD(x^3 y+cos (x)) d A, D=(x, y) in R^2 lvert, 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de integral duplaD(x^3 y+cos (x)) d A, onde a região D é definida por 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= x. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisamos integrar a função x^3 y + cos(x) primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração D. Ela está limitada por x indo de 0 até pi2 e, para cada x, y vai de 0 até x. Isso significa que para cada valor de x, y varia linearmente de 0 até esse x. Visualizando isso, a área D é um triângulo no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x. A expressão fica assim:
integral0^pi2 ( integral0^x ( x^3 y + cos(x) ) dy ) dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y. Para isso, tratamos x como uma constante:
integral0^x ( x^3 y + cos(x) ) dy = x^3 integral0^x y , dy + cos(x) integral0^x dy

Passo 5

Calculando cada parte separadamente:
  1. Para x^3 integral0^x y , dy:
integral0^x y , dy = [ 12 y^2 ]0^x = 12 x^2
Então:
x^3 cdot 12 x^2 = 12 x^5
  1. Para cos(x) integral0^x dy:
integral0^x dy = y |0^x = x
Então:
cos(x) cdot x = x cos(x)

Passo 6

Somando as duas partes:
integral0^x ( x^3 y + cos(x) ) dy = 12 x^5 + x cos(x)

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi2 ( 12 x^5 + x cos(x) ) dx
Vamos resolver essa integral em duas partes:
12 integral0^pi2 x^5 dx + integral0^pi2 x cos(x) dx

Passo 8

Calculando a primeira integral:
12 integral0^pi2 x^5 dx = 12 [ x^66 ]0^pi2 = 12 cdot (pi2)^66 = pi^62 cdot 6 cdot 2^6 = pi^62 cdot 6 cdot 64 = pi^6768

Passo 9

Calculando a segunda integral, integral x cos(x) dx, usamos integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(x) dx Rightarrow v = sin(x)
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
integral x cos(x) dx = x sin(x) - integral sin(x) dx = x sin(x) + cos(x)
Agora, avaliamos de 0 a pi2:
[ x sin(x) + cos(x) ]0^pi2 = ( pi2 cdot sin(pi2) + cos(pi2) ) - ( 0 cdot sin(0) + cos(0) )
Sabendo que sin(pi2) = 1, cos(pi2) = 0, e cos(0) = 1:
( pi2 cdot 1 + 0 ) - ( 0 + 1 ) = pi2 - 1

Passo 10

Somando as duas partes da integral:
pi^6768 + ( pi2 - 1 )

Resposta

A integral dupla vale pi^6768 + pi2 - 1.

Exercícios relacionados