Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' + k y = e^(2 k x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou é resolver a equação diferencial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando um método chamado fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso acontece porque, ao multiplicar pelo fator integrante, conseguimos escrever a equação de uma forma que facilita a integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Para encontrar , basta dividir ambos os lados por :
Simplificando a expressão:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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