Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou é resolver a equação diferencial
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando um método chamado fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque, ao multiplicar pelo fator integrante, conseguimos escrever a equação de uma forma que facilita a integração.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados por
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
é uma constante arbitrária.