Calcule as seguintes integrais: , onde é o retângulo definido por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é o retângulo definido por e . Então, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, e vamos precisar usar uma substituição inteligente para facilitar a resolução dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Aqui, percebemos que temos tanto no expoente quanto multiplicando a função exponencial. Isso sugere que uma boa ideia é fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir .
Passo 3
Com a substituição , precisamos expressar em termos de e outra variável. Para simplificar, podemos manter como a segunda variável. Então, temos:
Agora, vamos encontrar o determinante jacobiano para mudar as variáveis da integral.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
O determinante jacobiano é:
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano para a mudança de variável, temos .
Passo 5
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para as novas variáveis e . Originalmente, varia de 1 a 3 e varia de 2 a 4. Com e :
Quando e : ,
Quando e : ,
Então, varia de a e varia de a .
Passo 6
Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaR e^(x+y)^2(x+y) , dx , dy = integralv=1^3 integralu=3^7 e^u^2 u cdot |J| , du , dv
Simplificando, já que integral1^3 integral3^7 u e^u^2 , du , dv :
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral interna integral u e^u^2 , du = 12 integral e^w , dw = 12 e^w + C = 12 e^u^2 + C . Para isso, usamos uma substituição simples:
Seja 12 ( e^7^2 - e^3^2 ) = 12 ( e^49 - e^9 ) , então ou .
Substituindo:
Então, avaliando de 3 a 7:
Passo 8
Agora, voltamos à integral externa:
integral1^3 12 ( e^49 - e^9 ) , dv
Como a expressão dentro da integral não depende de 12 ( e^49 - e^9 ) integral1^3 , dv = 12 ( e^49 - e^9 ) (3 - 1) = 12 ( e^49 - e^9 ) times 2 , podemos simplificar: