Calcule as seguintes integrais: integral duplaR e^(x+y)^2(x+y) d x d y, onde R é o retângulo definido por 1 <= x <= 3 e 2 <= y <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é o retângulo definido por e . Então, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, e vamos precisar usar uma substituição inteligente para facilitar a resolução dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Aqui, percebemos que temos tanto no expoente quanto multiplicando a função exponencial. Isso sugere que uma boa ideia é fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir .

Passo 3

Com a substituição u = x + y v = x , precisamos expressar em termos de e outra variável. Para simplificar, podemos manter como a segunda variável. Então, temos:
Agora, vamos encontrar o determinante jacobiano para mudar as variáveis da integral.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial upartial x = 1, partial upartial y = 1
partial vpartial x = 1, partial vpartial y = 0
O determinante jacobiano J = 1 & 1 1 & 0 = (1)(0) - (1)(1) = -1 é:
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano para a mudança de variável, temos .

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para as novas variáveis e . Originalmente, varia de 1 a 3 e varia de 2 a 4. Com e :
  • Quando e : ,
  • Quando e : ,
Então, varia de a e varia de a .

Passo 6

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaR e^(x+y)^2(x+y) , dx , dy = integralv=1^3 integralu=3^7 e^u^2 u cdot |J| , du , dv
Simplificando, já que integral1^3 integral3^7 u e^u^2 , du , dv :

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral interna integral u e^u^2 , du = 12 integral e^w , dw = 12 e^w + C = 12 e^u^2 + C . Para isso, usamos uma substituição simples:
Seja 12 ( e^7^2 - e^3^2 ) = 12 ( e^49 - e^9 ) , então ou .
Substituindo:
Então, avaliando de 3 a 7:

Passo 8

Agora, voltamos à integral externa:
integral1^3 12 ( e^49 - e^9 ) , dv
Como a expressão dentro da integral não depende de 12 ( e^49 - e^9 ) integral1^3 , dv = 12 ( e^49 - e^9 ) (3 - 1) = 12 ( e^49 - e^9 ) times 2 , podemos simplificar:
e^49 - e^9
Isso simplifica para:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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