Identifique a função z=f(x, y) como combinação de funções elementares do cálculo e deduza que ela é contínua em seu domínio.
f(x, y)=raizx y

Passo 1

O enunciado pede para identificar f(x,y)=raizx,y como combinação de funções elementares do cálculo e concluir que ela é contínua em seu domínio. O conteúdo que vamos usar é o seguinte:
  1. A multiplicação (x,y)mapsto x,y é função contínua em R^2.
  2. A função raiz quadrada h(t)=raizt é contínua em seu domínio real [0,infty).
  3. O teorema da continuidade de composições afirma que, se g é contínua em D e h é contínua em g(D), então hcirc g é contínua em D.

Passo 2

Determinar o domínio natural de f. Como raiz,cdot, está definido só para argumentos não negativos, precisamos de
x,y ;>=; 0
Logo, o domínio de f é
D = l(x,y)inR^2 mid x,y>=0r

Passo 3

Escrever f como composição de funções mais simples. Definimos
gcolonR^2toR, g(x,y)=x,y,
e
hcolon[0,infty)toR, h(t)=raizt
Então
f(x,y) = hl(g(x,y)r) = raizx,y

Passo 4

Verificar a continuidade de cada parte:
  • g(x,y)=x,y é contínua em todo R^2 porque a multiplicação é operação contínua.
  • h(t)=raizt é contínua em [0,infty).
Como para (x,y)in D temos g(x,y)=x,yin[0,infty), vale g(D)subseteq[0,infty) que é o domínio de h.

Passo 5

Aplicar o teorema da continuidade de composições: sendo g contínua em D e h contínua em g(D), segue que
f = hcirc g
é contínua em D.

Resposta

A função f(x,y)=raizx,y é contínua em seu domínio
D=l(x,y)inR^2 mid x,y>=0r

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