Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas y=x^2, y=0, x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo- y a região do plano limitada por
y = x^2, y = 0, x = 1
Estamos no contexto de cálculo de volumes por revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, já que a região é fácil de descrever em função de x.

Passo 2

O método das cascas cilíndricas diz que, ao girar uma região entre x=a e x=b em torno do eixo- y, o volume é dado por
V = 2pi integrala^b (raio) times (a<ura) ,dx
Aqui o raio da casca é x e a altura é a diferença entre a curva superior e a inferior, isto é,
a<ura = x^2 - 0 = x^2

Passo 3

Substituindo os valores de a=0, b=1, raio =x e altura =x^2 na fórmula, vem
V = 2pi integral0^1 x cdot x^2 ,dx = 2pi integral0^1 x^3 ,dx

Passo 4

Agora basta computar a integral:
integral0^1 x^3 ,dx = gl[x^44gr]0^1 = 14
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V = 2pi cdot 14 = pi2

Resposta

pi2

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