Considere a função f: R^2 backslash(0,0) R definida por f(x, y)=3 x^4 y^4(x^4+y^2)^3. Calcule os limites de f(x, y) quando (x, y) (0,0), ao longo dos seguintes caminhos: (a) eixo x; (b) reta y=x; (c) curva y=x^2. A função f tem limite na origem? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede os limites da função
f(x,y)=3x^4y^4(x^4+y^2)^3
quando (x,y)to(0,0) por diferentes caminhos. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar substituição de cada curva em f e depois comparar os resultados para verificar se o limite na origem existe.

Passo 2

Caminho (a): eixo x. Aqui y=0. Substituindo em f:
f(x,0)=3x^4cdot0^4(x^4+0^2)^3 =0(x^4)^3 =0
Logo
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0

Passo 3

Caminho (b): reta y=x. Substituindo y=x:
f(x,x) =3x^4x^4(x^4+x^2)^3 =3x^8l(x^2(x^2+1)r)^3 =3x^8x^6(x^2+1)^3 =3x^2(x^2+1)^3
Como xto0, temos
limxto0f(x,x) =limxto03x^2(x^2+1)^3 =0

Passo 4

Caminho (c): curva y=x^2. Substituindo y=x^2:
f(x,x^2) =3x^4(x^2)^4(x^4+(x^2)^2)^3 =3x^4x^8(x^4+x^4)^3 =3x^12(2x^4)^3 =3x^128x^12 =38
Logo
limxto0f(x,x^2)=38

Passo 5

Comparando os resultados: pelos caminhos (a) e (b) o limite é 0, mas pelo caminho (c) é 3/8. Como os limites são diferentes, o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe.

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) tfrac38
A função não tem limite na origem, pois há caminhos que levam a valores diferentes.

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