A partir da definição de limite, prove que:
lim substackx 0 y 0(x+y) sen(1 / x)=0

Passo 1

Resumo da questão e identificação do conteúdo: queremos provar que lim(x,y)to(0,0)(x+y),sin(1/x)=0. Esse é um problema de limite de função de duas variáveis e vamos usar a definição formal de limite em R^2.

Passo 2

Definição de limite em R^2: dizemos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que raizx^2+y^2 então |f(x,y)-L|. Aqui f(x,y)=(x+y),sin(1/x) e L=0.

Passo 3

Fazer a estimativa do valor absoluto: como |sin(1/x)|<=1, temos
|(x+y),sin(1/x)|<=|x+y|<=|x|+|y|
Além disso, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz em R^2, ou simplesmente pensando em geometria,
|x|+|y|<=raiz2raizx^2+y^2

Passo 4

Escolha de de e conclusão: dado varepsilon>0, fixe
de
Então, se raizx^2+y^2, temos
|(x+y),sin(1/x)|<=raiz2raizx^2+y^2
Isso satisfaz a definição de limite, logo
lim(x,y)to(0,0)(x+y),sin(1/x)=0.

Resposta

0

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