• Calcule as seguintes integrais:
  • integral sin 4 x cos 5 x d x;
  • integral sin 8 x cos 5 x d x;
  • integral cos pi x cos 4 pi x d x;
  • integral sin 5 theta sin theta d theta;
  • integral0^pi / 2 sen 2 x cos 3 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais de produtos de funções trigonométricas, algumas indefinidas e uma definida no intervalo [0,tfracpi2]. O conteúdo principal é usar as fórmulas de produto-soma para converter cada produto em soma de funções trigonométricas simples, que depois são integradas diretamente.

Passo 2

Para as duas primeiras integrais, que têm a forma integral sin(Ax)cos(Bx),dx, usamos
sin(Ax)cos(Bx)=tfrac12l[sinl((A+B)xr)+sinl((A-B)xr)r]
Aplicando a A=4,;B=5:
integral sin4xcos5x,dx =tfrac12integrall[sin9x+sin(-x)r]dx =tfrac12l[integralsin9x,dx-integralsin x,dxr]
Como integralsin kx,dx=-tfrac1kcos kx, resulta
integral sin4xcos5x,dx =tfrac12l[-tfrac19cos9x+cos xr]+C =-tfrac118cos9x+tfrac12cos x+C
Agora com A=8,;B=5:
integral sin8xcos5x,dx =tfrac12integrall[sin13x+sin3xr]dx =tfrac12l[-tfrac113cos13x-tfrac13cos3xr]+C =-tfrac126cos13x-tfrac16cos3x+C

Passo 3

Para a terceira integral, integral cos(pi x)cos(4pi x),dx, usamos
cos(Ax)cos(Bx)=tfrac12l[cosl((A+B)xr)+cosl((A-B)xr)r]
Logo,
integral cospi xcos4pi x,dx =tfrac12integrall[cos5pi x+cos(-3pi x)r]dx =tfrac12l[integralcos5pi x,dx+integralcos3pi x,dxr]
Como integralcos kx,dx=tfrac1ksin kx, vem
integral cospi xcos4pi x,dx =tfrac12l[tfrac15pisin5pi x+tfrac13pisin3pi xr]+C =tfrac110pisin5pi x+tfrac16pisin3pi x+C

Passo 4

Para integral sin5thetasintheta,dtheta, usamos
sin(Atheta)sin(Btheta) =tfrac12l[cosl((A-B)thetar)-cosl((A+B)thetar)r]
Com A=5,;B=1:
integral sin5thetasintheta,dtheta =tfrac12integrall[cos4theta-cos6thetar]dtheta =tfrac12l[tfrac14sin4theta-tfrac16sin6thetar]+C =tfrac18sin4theta-tfrac112sin6theta+C

Passo 5

Para a integral definida integral0^pi/2sin2xcos3x,dx, usamos de novo
sin2xcos3x=tfrac12l[sin5x+sin(-x)r] =tfrac12l[sin5x-sin xr]
Então
integral0^pi/2sin2xcos3x,dx =tfrac12l[integral0^pi/2sin5x,dx-integral0^pi/2sin x,dxr]
Calculando cada parte:
integral0^pi/2sin5x,dx =-tfrac15l[cos5xr]0^pi/2 =-tfrac15(0-1)=tfrac15,
integral0^pi/2sin x,dx =-l[cos xr]0^pi/2 =-(0-1)=1
Logo
integral0^pi/2sin2xcos3x,dx =tfrac12l(tfrac15-1r) =tfrac12l(-tfrac45r) =-tfrac25

Resposta

(a) integral sin4xcos5x,dx=-tfrac118cos9x+tfrac12cos x+C
(b) integral sin8xcos5x,dx=-tfrac126cos13x-tfrac16cos3x+C
(c) integral cospi xcos4pi x,dx=tfrac110pisin5pi x+tfrac16pisin3pi x+C
(d) integral sin5thetasintheta,dtheta=tfrac18sin4theta-tfrac112sin6theta+C
(e) integral0^pi/2sin2xcos3x,dx=-tfrac25

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