Calcule as seguintes integrais:
1)
integral (t^2+3)^2t^6 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (t^2+3)^2t^6,dt
O conteúdo envolvido é manipulação algébrica de potências e aplicação da regra de potência para antiderivadas. Vamos primeiro expandir o integrando e escrevê-lo em termos de potências de t.

Passo 2

Expandir o numerador:
(t^2+3)^2 = t^4 + 6,t^2 + 9
Logo,
(t^2+3)^2t^6 = t^4t^6 + 6,t^2t^6 + 9t^6 = t^-2 + 6,t^-4 + 9,t^-6

Passo 3

Escrever a integral como soma de termos simples:
integral (t^2+3)^2t^6,dt = integrall(t^-2 + 6,t^-4 + 9,t^-6r),dt = integral t^-2,dt + 6integral t^-4,dt + 9integral t^-6,dt

Passo 4

Aplicar a regra de potência integral t^n,dt = tfract^n+1n+1 (para nneq -1):
integral t^-2,dt = t^-1-1 = -,t^-1,
6integral t^-4,dt = 6cdott^-3-3 = -2,t^-3,
9integral t^-6,dt = 9cdott^-5-5 = -95,t^-5

Passo 5

Somar as parcelas e acrescentar a constante de integração C:
integral (t^2+3)^2t^6,dt = -,t^-1 ;-;2,t^-3;-;95,t^-5 + C

Resposta

-,1t;-;2t^3;-;95,t^-5;+;C

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