Exercício 2.2.2. Mostre que:
Ib=integral xraizx^2-2 x+5 d x=raizx^2-2 x+5+ln |x-1+raizx^2-2 x+5|+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ib=integral xraizx^2-2x+5,dx
usando técnicas de integração para funções que envolvem raiz quadrada de um polinômio quadrático. Vamos completar o quadrado no radicando e depois usar uma substituição apropriada para separar a integral em partes conhecidas.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x^2-2x+5. Note que
x^2-2x+5 = (x-1)^2 + 4

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x-1, du = dx, x = u+1
Então
x^2-2x+5 = u^2+4 e xraizx^2-2x+5,dx = u+1raizu^2+4,du

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
integral u+1raizu^2+4,du = integral uraizu^2+4,du + integral 1raizu^2+4,du
Agora lembramos que
ddul(raizu^2+4r) = uraizu^2+4,
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integral uraizu^2+4,du = raizu^2+4
E também usamos a fórmula padrão
integral 1raizu^2+a^2,du = lnl|u+raizu^2+a^2r| + C,
com a=2, obtendo
integral 1raizu^2+4,du = lnl|u+raizu^2+4r|

Passo 5

Somando as duas partes e voltando à variável x (lembre que u=x-1), temos
Ib = raizu^2+4 + lnl|u+raizu^2+4r| + C = raizx^2-2x+5 + lnl|x-1+raizx^2-2x+5r| + C

Resposta

boxed,Ib=raizx^2-2x+5+lnl|x-1+raizx^2-2x+5r|+C,

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