Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Estamos lidando com uma integração de funções racionais, que geralmente envolve a técnica de frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que sejam fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. Para isso, assumimos que podemos expressar a fração original da seguinte maneira:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos do lado direito:
Agora, vamos combinar termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos de mesma potência:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
A partir da terceira equação, já sabemos que
.
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
e
na segunda equação:
Então, temos
,
e
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
Aqui, usamos a regra de que
. -
Mesma regra aplicada ao termo
. -
Para esse, usamos a regra de que
, onde . Aqui, :
Resposta
Juntando todos os termos integrados, temos:
Onde
é a constante de integração.