Calcule as seguintes integrais: integral 2 t^2+3t(t-1)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma integração de funções racionais, que geralmente envolve a técnica de frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que sejam fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 2 t^2+3t(t-1)^2 = At + Bt-1 + C(t-1)^2 como uma soma de frações parciais. Para isso, assumimos que podemos expressar a fração original da seguinte maneira:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 2 t^2 + 3 = A(t-1)^2 + B t (t-1) + C t , 2 t^2 + 3 = A(t^2 - 2t + 1) + B t^2 - B t + C t e 2 t^2 + 3 = (A + B) t^2 + (-2A - B + C) t + A . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por 3 + B = 2 implies B = -1 para eliminar os denominadores:
-2(3) - (-1) + C = 0 implies -6 + 1 + C = 0 implies C = 5
Expandindo os termos do lado direito:
Agora, vamos combinar termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos de mesma potência:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)
A partir da terceira equação, já sabemos que .
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, temos , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de 2 t^2+3t(t-1)^2 = 3t + -1t-1 + 5(t-1)^2 , 2 t^2+3t(t-1)^2 = 3t - 1t-1 + 5(t-1)^2 e integral 3t , dt - integral 1t-1 , dt + integral 5(t-1)^2 , dt , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 5(t-1)^2 , dt = 5 cdot (t-1)^-1-1 = -5t-1
    Aqui, usamos a regra de que .
  2. Mesma regra aplicada ao termo .
  3. Para esse, usamos a regra de que , onde . Aqui, :

Resposta

Juntando todos os termos integrados, temos:
integral 2 t^2+3t(t-1)^2 , dt = 3 ln |t| - ln |t-1| - 5t-1 + C
Onde é a constante de integração.

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