Calcule as seguintes integrais: integral z^5+2z^2-1 d z

Passo 1

Então, temos que calcular a integral . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a divisão polinomial e frações parciais, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é maior que o grau do denominador ( ). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos dividir z^5 + 2z^2 - 1 = z^3 + z + z + 2z^2 - 1 por :
Aqui, realizamos a divisão e obtemos um polinômio mais uma fração simples .

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral (z^3 + z + z + 2z^2 - 1) , dz = integral z^3 , dz + integral z , dz + integral z + 2z^2 - 1 , dz
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando os termos simples:
integral z^3 , dz = z^44 + C1
integral z , dz = z^22 + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Agora, para a fração z + 2(z - 1)(z + 1) = Az - 1 + Bz + 1 , podemos decompor em frações parciais. Sabemos que z + 2 = A(z + 1) + B(z - 1) , então:
1 + 2 = A(2) Rightarrow A = 32
Multiplicando ambos os lados por -1 + 2 = B(-2) Rightarrow B = -12 :
Resolvendo para e :
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo z + 2z^2 - 1 = 3/2z - 1 - 1/2z + 1 e integral 3/2z - 1 , dz - integral 1/2z + 1 , dz = 32 ln|z - 1| - 12 ln|z + 1| + C3 na fração:
Agora, podemos integrar:

Passo 8

Juntando todas as integrais:
z^44 + z^22 + 32 ln|z - 1| - 12 ln|z + 1| + C
Onde é a constante de integração geral.

Resposta

A integral z^44 + z^22 + 32 ln|z - 1| - 12 ln|z + 1| + C é igual a:

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