Calcule as seguintes integrais: integral x-1x(x+1) d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Isso é uma questão de integração no cálculo, e vamos precisar usar o método das frações parciais para deixar a expressão mais simples e fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações mais simples. A ideia das frações parciais é escrever essa expressão como a soma de termos mais fáceis de integrar, geralmente da forma , onde A e B são constantes que precisamos achar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para isso, igualamos as duas representações:
x-1x(x+1) = Ax + Bx+1
Multiplicando ambos os lados por x - 1 = A(x+1) + Bx para eliminar os denominadores, temos:
x - 1 = Ax + A + Bx
Expandindo:
x - 1 = (A + B)x + A
Agrupando os termos com A + B = 1 (coeficiente de x) :
A = -1 (termo constante)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A = -1
-1 + B = 1 implies B = 2
Resolvendo esse sistema, temos:

Passo 4

Agora que sabemos A e B, podemos reescrever a fração original:
x-1x(x+1) = -1x + 2x+1
Então, nossa integral fica:
integral x-1x(x+1) dx = integral ( -1x + 2x+1 ) dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral 1x dx = ln|x|
integral 1x+1 dx = ln|x+1|
Aplicando isso:
integral ( -1x + 2x+1 ) dx = -ln|x| + 2ln|x+1| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral - ln|x| + 2, ln|x+1| + C é igual a:

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