Decomponha os quocientes em frações parciais 1/(x*(x^2+x+1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decompor o quociente em frações parciais. Isso está relacionado ao assunto de frações parciais na álgebra, onde a gente quebra uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de trabalhar. Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e aplicar a técnica de decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . Aqui, temos dois fatores: e . O fator é linear, e o é um polinômio quadrático que não pode ser fatorado mais com números reais. Isso significa que nossa decomposição terá a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para descobrir os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, temos uma equação polinomial que deve ser válida para todos os valores de . Isso significa que os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo na segunda equação: .

Resposta

Portanto, a decomposição em frações parciais fica:

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