Decomponha os quocientes em frações parciais (3*x^3 + 1) / (x^2 * (x^2 + 1)^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fração racional:
Nosso objetivo é decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos reescrever essa fração como a soma de frações mais simples, que são mais fáceis de manipular ou integrar. Para isso, vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complexas em partes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador, se possível. No nosso caso, o denominador já está fatorado:
Aqui, temos dois tipos de fatores:
  1. – que é um fator de multiplicidade 2.
  2. – que é um fator quadrático irreduzível de multiplicidade 2.

Passo 3

Agora, vamos escrever a forma geral das frações parciais com base nos fatores do denominador:
Para cada fator linear de multiplicidade 2, teremos termos como e .
Para cada fator quadrático de multiplicidade 2, teremos termos como e .
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação. Primeiro, vamos expandir cada termo:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
Agora, somando todos esses termos:

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:
Portanto, temos:

Passo 7

Agora, como essa igualdade deve ser válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos com as mesmas potências de devem ser iguais em ambos os lados da equação.
Porém, no lado esquerdo, temos , o que nos dá os seguintes coeficientes:
  • : 0
  • : 0
  • : 3
  • : 0
  • : 0
  • Termo constante: 1
Comparando com o lado direito, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (para )
  2. (para )
  3. (para )
  4. (para )
  5. (para )
  6. (termo constante)

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Da equação 5:
Substituindo na equação 1:
Da equação 6:
Substituindo na equação 2:
Substituindo e na equação 4:
Agora, substituindo , na equação 3:

Passo 9

Agora que encontramos todos os valores das constantes, podemos substituir de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Resposta

A decomposição em frações parciais da fração é:

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