Decomponha os quocientes em frações parciais
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fração racional:
Nosso objetivo é decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos reescrever essa fração como a soma de frações mais simples, que são mais fáceis de manipular ou integrar. Para isso, vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complexas em partes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador, se possível. No nosso caso, o denominador já está fatorado:
Aqui, temos dois tipos de fatores:
-
– que é um fator de multiplicidade 2. -
– que é um fator quadrático irreduzível de multiplicidade 2.
Passo 3
Agora, vamos escrever a forma geral das frações parciais com base nos fatores do denominador:
Para cada fator linear
de multiplicidade 2, teremos termos como
e
.
Para cada fator quadrático
de multiplicidade 2, teremos termos como
e
.
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação. Primeiro, vamos expandir cada termo:
-
:
-
:
-
:
-
:
Agora, somando todos esses termos:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos de
: - Termos de
: - Termos de
: - Termos constantes:
Portanto, temos:
Passo 7
Agora, como essa igualdade deve ser válida para todos os valores de
, os coeficientes dos termos com as mesmas potências de
devem ser iguais em ambos os lados da equação.
Porém, no lado esquerdo, temos
, o que nos dá os seguintes coeficientes:
-
: 0 -
: 0 -
: 3 -
: 0 -
: 0 - Termo constante: 1
Comparando com o lado direito, temos o seguinte sistema de equações:
-
(para ) -
(para ) -
(para ) -
(para ) -
(para ) -
(termo constante)
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Da equação 5:
Substituindo
na equação 1:
Da equação 6:
Substituindo
na equação 2:
Substituindo
e
na equação 4:
Agora, substituindo
,
na equação 3:
Passo 9
Agora que encontramos todos os valores das constantes, podemos substituir de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Resposta
A decomposição em frações parciais da fração
é: