Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. integral arccos x d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que resolver a integral de arccos x em relação a x, usando a técnica de integração por partes. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e saber derivar e integrar funções envolvidas, tipo a função arco cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe partes da nossa integral para serem u e dv. No nosso caso, vamos escolher:
  • u = arccos x, porque é mais fácil de derivar.
  • dv = dx, que é simples de integrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv para encontrar du e v:
  • Derivando u:
    du = ddx (arccos x) , dx = -1raiz1 - x^2 , dx
  • Integrando dv:
    v = integral dx = x

Passo 4

Com os valores de u, v, du e dv calculados, vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral arccos x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
integral arccos x , dx = arccos x cdot x - integral x cdot (-1raiz1 - x^2) dx
Simplificando:
integral arccos x , dx = x arccos x + integral xraiz1 - x^2 dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral xraiz1 - x^2 dx. Para isso, podemos fazer uma substituição simples:
Seja w = 1 - x^2, então:
dw = -2x , dx Rightarrow -12 dw = x , dx
Substituindo na integral:
integral xraiz1 - x^2 dx = -12 integral 1raizw dw
A integral de 1raizw é 2raizw + C, então:
-12 cdot 2raizw = -raizw = -raiz1 - x^2

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral arccos x , dx = x arccos x + (-raiz1 - x^2) + C
Simplificando:
integral arccos x , dx = x arccos x - raiz1 - x^2 + C

Resposta

A integral de arccos x em relação a x é:
integral arccos x , dx = x arccos x - raiz1 - x^2 + C

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