Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que resolver a integral de
em relação a
, usando a técnica de integração por partes. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e saber derivar e integrar funções envolvidas, tipo a função arco cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe partes da nossa integral para serem
e
. No nosso caso, vamos escolher:
-
, porque é mais fácil de derivar. -
, que é simples de integrar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
:
Passo 4
Com os valores de
,
,
e
calculados, vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, podemos fazer uma substituição simples:
Seja
, então:
Substituindo na integral:
A integral de
é
, então:
Passo 6
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
A integral de
em relação a
é: