Inverta a ordem de integração e calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integração dupla e a inversão da ordem de integração. A gente vai precisar entender como mudar os limites de integração quando a gente troca a ordem das integrais e, claro, aplicar as fórmulas de integração para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites de integração originais:
Aqui, $ x $ varia de 0 a 2, e para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x $ até 2. Para inverter a ordem, precisamos entender a região de integração no plano $ xy $.
Passo 3
Desenhando o gráfico, temos $ x $ de 0 a 2 e $ y $ de $ x $ a 2. Isso forma um triângulo onde $ y $ está sempre acima de $ x $ e até 2. Se invertermos a ordem, vamos fazer $ y $ variar de 0 a 2, e para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até $ y $. Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
Aqui, $ \sqrt{1+y^{3}} $ é uma constante em relação a $ x $, então podemos tirar fora da integral:
A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{2}}{2} $, então:
Passo 5
Agora, vamos integrar isso em relação a $ y $:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = 1 + y^{3} $, então $ du = 3y^{2} dy $, ou seja, $ \frac{du}{3} = y^{2} dy $. Substituindo:
Integrando $ u^{1/2} $:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{26}{9} $.