Inverta a ordem de integração e calcule:
integral0^2 integralx^2 x raiz1+y^3 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integração dupla e a inversão da ordem de integração. A gente vai precisar entender como mudar os limites de integração quando a gente troca a ordem das integrais e, claro, aplicar as fórmulas de integração para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de integração originais:
integral0^2 integralx^2 x raiz1+y^3 , dy , dx
Aqui, $ x $ varia de 0 a 2, e para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x $ até 2. Para inverter a ordem, precisamos entender a região de integração no plano $ xy $.

Passo 3

Desenhando o gráfico, temos $ x $ de 0 a 2 e $ y $ de $ x $ a 2. Isso forma um triângulo onde $ y $ está sempre acima de $ x $ e até 2. Se invertermos a ordem, vamos fazer $ y $ variar de 0 a 2, e para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até $ y $. Então, a integral invertida fica:
x

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
x
Aqui, $ \sqrt{1+y^{3}} $ é uma constante em relação a $ x $, então podemos tirar fora da integral:
integral0^y x raiz1+y^3 , dx
A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{2}}{2} $, então:
raiz1+y^3

Passo 5

Agora, vamos integrar isso em relação a $ y $:
y
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = 1 + y^{3} $, então $ du = 3y^{2} dy $, ou seja, $ \frac{du}{3} = y^{2} dy $. Substituindo:
integral0^2 y^22 raiz1+y^3 , dy
Integrando $ u^{1/2} $:
u = 1 + y^3

Resposta

O valor da integral é $ \frac{26}{9} $.

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