Calcule as seguintes integrais:
integral 2 x^3 cos x^2 d x

Passo 1

Queremos calcular a integral integral 2 x^3 cos x^2 ,dx. O tema envolve duas técnicas de integração: primeiro uma substituição para simplificar o argumento x^2, e em seguida integração por partes.

Passo 2

Definimos u = x^2. Assim, derivando, temos du = 2x,dx. Note que 2x^3,dx = 2x^2cdot x,dx = 2ucdot(x,dx) e como x,dx = tfracdu2, a integral vira
integral 2 x^3 cos x^2 ,dx = integral u cos u ;du

Passo 3

Agora resolvemos integral ucos u,du por partes. Escolhemos
v = u, dw = cos u,du
portanto
dv = du, w = sin u
Pela fórmula integral v,dw = v w - integral w,dv, obtemos
integral ucos u,du = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original x: como u = x^2, a antiderivada é
x^2sin x^2 + cos x^2 + C

Resposta

x^2 sin x^2 + cos x^2 + C

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