Seja y=f(x) uma função dada implicitamente pela equação x^2+x y+y^2=3. Admitindo f derivável, determine as possíveis retas tangentes ao gráfico de f que são normais à reta x-y+1=0.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar as retas tangentes ao gráfico de uma função implícita definida por x^2 + x y + y^2 = 3 que sejam normais à reta x - y + 1 = 0. Vamos usar diferenciação implícita para achar y'=f'(x) e depois exigir que essa derivada seja igual ao coeficiente angular de uma reta perpendicular à dada.

Passo 2

Primeiro a gente precisa achar y' pela diferenciação implícita. Derivando x^2 + x y + y^2 = 3 em relação a x:
ddx(x^2) + ddx(x y) + ddx(y^2) = 0
Isso dá:
2x + (x y' + y) + 2y y' = 0
Agrupando os termos com y':
(x + 2y)y' + 2x + y = 0
Daí:
y' = -2x + yx + 2y

Passo 3

A reta dada x - y + 1 = 0 tem coeficiente angular 1, pois reescrevendo ela temos y = x + 1. Qualquer reta normal a ela precisa ter coeficiente angular igual a -1, já que o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é (-1). Então impomos:
-2x + yx + 2y = -1
Cancelando os minuses e multiplicando ambos os lados por x+2y (supondo x+2yneq0):
2x + y = x + 2y
Ou seja:
x - y = 0 Longrightarrow y = x

Passo 4

Substituindo y = x na equação original x^2 + x y + y^2 = 3 temos:
x^2 + x^2 + x^2 = 3 Longrightarrow 3x^2 = 3 Longrightarrow x^2 = 1
Logo x = pm1 e, como y = x, obtemos os pontos (1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Agora montamos as retas tangentes com coeficiente -1) em cada ponto. Para (1,1):
y - 1 = -1(x - 1) Longrightarrow y = -x + 2
Para (-1,-1):
y + 1 = -1(x + 1) Longrightarrow y = -x - 2

Resposta

As retas procuradas são y = -x + 2 e y = -x - 2.

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