Seja
uma função dada implicitamente pela equação
. Admitindo
derivável, determine as possíveis retas tangentes ao gráfico de
que são normais à reta
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar as retas tangentes ao gráfico de uma função implícita definida por
que sejam normais à reta
. Vamos usar diferenciação implícita para achar
e depois exigir que essa derivada seja igual ao coeficiente angular de uma reta perpendicular à dada.
Passo 2
Primeiro a gente precisa achar
pela diferenciação implícita. Derivando
em relação a
:
Isso dá:
Agrupando os termos com
:
Daí:
Passo 3
A reta dada
tem coeficiente angular
, pois reescrevendo ela temos
. Qualquer reta normal a ela precisa ter coeficiente angular igual a
, já que o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é (-1). Então impomos:
Cancelando os minuses e multiplicando ambos os lados por
(supondo
):
Ou seja:
Passo 4
Substituindo
na equação original
temos:
Logo
e, como
, obtemos os pontos
e
.
Passo 5
Agora montamos as retas tangentes com coeficiente
em cada ponto. Para
:
Para
:
Resposta
As retas procuradas são
e
.