Sejam a, b, c números reais positivos satisfazendo a^2+b^2=c^2. Mostre que
log b+c a+log c-b a=2 log c+b a log c-b a

Passo 1

Enunciado: temos números reais positivos a, b, c tais que a^2 + b^2 = c^2. Precisamos mostrar a identidade envolvendo logaritmos: logb+ca + logc-ba = 2,logc+ba,logc-ba. Vamos usar propriedades de mudança de base de logaritmo e a relação pitagórica.

Passo 2

Definimos as grandezas
X = logc+ba = ln aln(c+b),
Y = logc-ba = ln aln(c-b)

Passo 3

Com essas definições, a identidade a provar fica
X + Y = 2XY
Reescrevendo, basta mostrar
X+YXY = 2
ou seja
1Y + 1X = 2

Passo 4

Substituindo X e Y em termos de ln, temos
ln(c-b)ln a + ln(c+b)ln a = 2
Logo
lnl((c+b)(c-b)r)ln a = 2
e portanto
ln(c^2 - b^2) = 2ln a

Passo 5

Como pela hipótese c^2 - b^2 = a^2, segue
ln(a^2) = 2ln a,
confirmando a igualdade.

Resposta

A identidade se verifica porque ela reduz-se a ln(c^2 - b^2) = 2ln a e pela hipótese c^2 - b^2 = a^2.

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