Calcule as seguintes integrais
integral 2 x+3(x+5)(x-2) d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral de uma função racional 2x+3(x+5)(x-2). O conteúdo aqui é integração de frações racionais usando decomposição em frações parciais, que consiste em reescrever a função como soma de termos do tipo 1/(x+a).

Passo 2

Assumimos que
2x+3(x+5)(x-2) = Ax+5 + Bx-2
Isso implica que
2x + 3 = A(x-2) + B(x+5)

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes, obtemos
A + B = 2, -2A + 5B = 3
Da primeira equação A = 2 - B. Substituindo na segunda:
-2(2 - B) + 5B = 3 implies -4 + 2B + 5B = 3 implies 7B = 7 implies B = 1, A = 2 - 1 = 1

Passo 4

Substituindo A=1 e B=1 de volta, a integral vira
integral 2x+3(x+5)(x-2),dx = integral l(1x+5 + 1x-2r) dx
Integrando termo a termo:
integral 1x+5 dx + integral 1x-2 dx = ln|x+5| + ln|x-2| + C

Resposta

ln|x+5| + ln|x-2| + C

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