Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função
g(x)=integral0^x^4 e^t^2 d t

Passo 1

O exercício pede a derivada de g(x)=integral0^x^4 e^t^2,dt usando o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Pela parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, se definirmos F(u)=integral0^u f(t),dt, então F'(u)=f(u). Aqui temos f(t)=e^t^2 e o limite superior u(x)=x^4.
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de g(x)=F(u(x)) é g'(x)=F'(u(x))cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos primeiro u'(x)=dfracddx(x^4)=4x^3
Em seguida avaliamos f(u(x))=e^(x^4)^2=e^x^8

Passo 4

Multiplicando os resultados, obtemos g'(x)=e^x^8cdot4x^3

Resposta

g'(x)=4x^3e^x^8

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