Seja
um campo vetorial em
. Determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede uma função escalar tal que
. O conteúdo aqui é potencial para campos conservativos: em
, que é simplesmente conexo, basta verificar que
e depois integrar as componentes para achar
.
e pede uma função escalar
Passo 2
Calculamos
.
A primeira componente é
A primeira componente é
A segunda componente é
A terceira componente é
Logo
,
ou seja, é conservativo.
ou seja,
Passo 3
Integramos a primeira condição
.
Integrando em ,
Integrando em
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Usamos agora
e igualamos à segunda componente de , que é
. Assim,
e igualamos à segunda componente de
Isso mostra que
não depende de
, logo
.
Passo 5
Por fim, usamos
e igualamos à terceira componente de , que é
. Portanto,
e igualamos à terceira componente de
Juntando tudo,
Resposta
Uma função potencial para
é
onde
é constante arbitrária.