Seja F(x, y, z)=sen y i+x cos y j-sen z k um campo vetorial em R^3. Determine uma função f tal que F=nabla f.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=sin y,i+xcos y,j-sin z,k
e pede uma função escalar f(x,y,z) tal que F=nabla f. O conteúdo aqui é potencial para campos conservativos: em R^3, que é simplesmente conexo, basta verificar que nablatimesF=0 e depois integrar as componentes para achar f.

Passo 2

Calculamos nablatimesF.
A primeira componente é
partialpartial y(-sin z);-;partialpartial z(xcos y) =0-0=0
A segunda componente é
partialpartial z(sin y);-;partialpartial x(-sin z) =0-0=0
A terceira componente é
partialpartial x(xcos y);-;partialpartial y(sin y) =cos y-cos y=0
Logo
nablatimesF=0,
ou seja, F é conservativo.

Passo 3

Integramos a primeira condição
partial fpartial x=sin y.
Integrando em x,
f(x,y,z)=integral sin y,dx = xsin y + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função a determinar.

Passo 4

Usamos agora
partial fpartial y = xcos y + partial gpartial y
e igualamos à segunda componente de F, que é xcos y. Assim,
xcos y + partial gpartial y = xcos y Longrightarrow partial gpartial y=0
Isso mostra que g não depende de y, logo g(y,z)=h(z).

Passo 5

Por fim, usamos
partial fpartial z = h'(z)
e igualamos à terceira componente de F, que é -sin z. Portanto,
h'(z) = -sin z Longrightarrow h(z) = integral -sin z,dz = cos z + C
Juntando tudo,
f(x,y,z) = xsin y + cos z + C

Resposta

Uma função potencial para F é
f(x,y,z) = xsin y + cos z + C,
onde C é constante arbitrária.

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