Calcule as seguintes integrais
integral0^raizpi / 2 x sin (x^2) d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral definida de 0 até raizpi/2 da função xsin(x^2),dx. O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais, e vamos usar a ideia de que a derivada de x^2 é 2x.

Passo 2

Primeiro, identificamos a substituição u = x^2. Isso facilita porque a parte x,dx aparece junto no integrando, e a derivada de x^2 nos dá exatamente 2x,dx.

Passo 3

Calculamos du:
du = 2x,dx
Logo,
x,dx = du2

Passo 4

Alteramos também os limites de integração: quando x = 0, temos u = 0^2 = 0. Quando x = raizpi/2, temos u = (raizpi/2)^2 = pi/2.

Passo 5

A integral original
integral0^raizpi/2 xsin(x^2),dx
fica
integralu=0^u=pi/2 sin(u) cdot du2 = 12 integral0^pi/2 sin(u),du

Passo 6

Agora integramos sin(u). Sabemos pela tabela de integrais que
integral sin(u),du = -cos(u) + C
Portanto
12 integral0^pi/2 sin(u),du = 12 l[-cos(u)r]0^pi/2

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
12 l[-cos(u)r]0^pi/2 = 12 l(-cos(pi/2) + cos(0)r) = 12 ( -0 + 1 ) = 12

Resposta

tfrac12

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