Calcule as seguintes integrais
a)
integral x+4x^2+2 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que foi proposta: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem decomposição de frações ou completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4 . Para facilitar a integral, vamos completar o quadrado nesse polinômio quadrático. Completando o quadrado:
integral x+4(x + 1)^2 + 4 , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir integral (u - 1) + 4u^2 + 4 , du = integral u + 3u^2 + 4 , du , então . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, separamos a fração:
integral uu^2 + 4 , du + integral 3u^2 + 4 , du
A primeira integral pode ser resolvida por substituição direta, já que o numerador é a derivada do denominador. A segunda integral envolve uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente.

Passo 5

Resolvendo a primeira parte:
integral uu^2 + 4 , du = 12 ln|u^2 + 4| + C
E a segunda parte:
integral 3u^2 + 4 , du = 32 tan^-1(u2) + C

Passo 6

Juntando as duas partes e voltando à variável original 12 ln|(x + 1)^2 + 4| + 32 tan^-1(x + 12) + C :

Resposta

A integral 12 ln(x^2 + 2x + 5) + 32 tan^-1(x + 12) + C é igual a:

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