Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, principalmente de separação de variáveis ou outros métodos para resolver equações não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Vamos mover o termo
para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Vamos tentar simplificar a equação. Note que o denominador contém
, o que sugere uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir uma nova variável:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
da equação original na expressão de
:
Mas como
, podemos expressar
em termos de
e
:
. Substituindo isso na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Rearranjando os termos:
Essa forma ainda é complicada, então vamos tentar outra abordagem para resolver a equação original.
Passo 6
Vamos voltar à equação inicial:
Podemos escrever isso como:
Dividindo o numerador e o denominador por
:
Mas isso não simplifica muito. Vamos tentar separar as variáveis de outra forma.
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para separar
e
:
Explicando, estamos isolando
de um lado e
do outro para integrar.
Passo 8
Agora, vamos expandir o numerador:
Então, a equação fica:
Passo 9
Vamos integrar ambos os lados:
Ao integrar, tratamos
como constante em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituímos
e
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 11
Portanto, a solução geral da equação é:
Podemos rearranjar para expressar
em termos de
, mas a equação pode não ter uma solução explícita simples. Portanto, a solução implícita é:
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é: