Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
t(t+y) y' - y^2 = 0, y(1) = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, principalmente de separação de variáveis ou outros métodos para resolver equações não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Vamos mover o termo para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Vamos tentar simplificar a equação. Note que o denominador contém , o que sugere uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir uma nova variável:
Então, derivando ambos os lados em relação a t:

Passo 4

Agora, substituímos da equação original na expressão de :
Mas como , podemos expressar y em termos de u e t: . Substituindo isso na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Rearranjando os termos:
Essa forma ainda é complicada, então vamos tentar outra abordagem para resolver a equação original.

Passo 6

Vamos voltar à equação inicial:
Podemos escrever isso como:
Dividindo o numerador e o denominador por y:
Mas isso não simplifica muito. Vamos tentar separar as variáveis de outra forma.

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para separar y e t:
Explicando, estamos isolando de um lado e do outro para integrar.

Passo 8

Agora, vamos expandir o numerador:
Então, a equação fica:

Passo 9

Vamos integrar ambos os lados:
Ao integrar, tratamos t como constante em relação a y:
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C. Substituímos e na equação:
Resolvendo para C:

Passo 11

Portanto, a solução geral da equação é:
Podemos rearranjar para expressar y em termos de t, mas a equação pode não ter uma solução explícita simples. Portanto, a solução implícita é:

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é:

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