Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é determinar . Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais definidas que têm limites variáveis e aplicar algumas regras de cálculo, como a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que a função representa. Ela é definida como a integral de uma função de 0 até .
Mas como podemos simplificar ou calcular essa integral? Vamos pensar em técnicas de integração que podem nos ajudar.
Passo 3
Observamos que o denominador lembra a derivada de . De fato, sabemos que:
Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir .
Passo 4
Com , a derivada de em relação a é:
Agora, vamos substituir na integral:
Note que e se cancelam.
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Agora, precisamos simplificar o limite superior .
Passo 6
Sabemos que para valores de no domínio adequado (vamos assumir que está no intervalo onde isso é válido).
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, calcular essa integral é direto. A integral de em relação a é . Então: