Dada
f(x)=integral0^tg(x) e^arctg(y)y^2+1 d y
determine $f

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função definida por uma integral:
f(x) = integral0^tg(x) e^arctg(y)y^2 + 1 , dy
Nosso objetivo é determinar . Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais definidas que têm limites variáveis e aplicar algumas regras de cálculo, como a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que a função representa. Ela é definida como a integral de uma função de 0 até .
Mas como podemos simplificar ou calcular essa integral? Vamos pensar em técnicas de integração que podem nos ajudar.

Passo 3

Observamos que o denominador ddy arctg(y) = 1y^2 + 1 lembra a derivada de . De fato, sabemos que:
Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir .

Passo 4

Com dudy = 1y^2 + 1 implies dy = (y^2 + 1) , du , a derivada de f(x) = integralu=0^u=arctg(tg(x)) e^u cdot (y^2 + 1) , du cdot 1y^2 + 1 em relação a é:
Agora, vamos substituir na integral:
Note que e se cancelam.

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
f(x) = integral0^arctg(tg(x)) e^u , du
Agora, precisamos simplificar o limite superior .

Passo 6

Sabemos que f(x) = integral0^x e^u , du para valores de no domínio adequado (vamos assumir que está no intervalo onde isso é válido).
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, calcular essa integral é direto. A integral de f(x) = e^u |0^x = e^x - e^0 = e^x - 1 em relação a é . Então:

Resposta

A função f(x) = e^x - 1 é igual a :

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