Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma
ou
é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
Definição: Uma equação diferencial da forma
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial separável do tipo
. Isso significa que a gente pode reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que envolve integrar ambos os lados da equação depois de separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. A equação original é:
Vamos adicionar
em ambos os lados para obter:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos reescrever a equação usando a notação de derivada:
Agora, queremos separar as variáveis
e
.
Passo 5
Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Dessa forma, todas as partes que envolvem
estão de um lado e as que envolvem
estão do outro.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais nos vão ajudar a encontrar a função
.
Passo 7
Resolvendo as integrais, temos:
onde
é a constante de integração. Podemos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos.
Resposta
Exponentiando ambos os lados, obtemos:
onde
é uma constante qualquer. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: