Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma M(t)+N(y) y^prime=0 ou M(t) d t+ N(t) d y=0 é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
integral M(t) d t=-integral N(y) d y+C
t y^prime-y=0

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial separável do tipo . Isso significa que a gente pode reorganizar a equação para separar as variáveis e . Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que envolve integrar ambos os lados da equação depois de separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar t , y' - y = 0 . A equação original é:
t , y' = y
Vamos adicionar em ambos os lados para obter:

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados por y' = yt para deixar sozinho:
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 4

Vamos reescrever a equação usando a notação de derivada:
dydt = yt
Agora, queremos separar as variáveis e .

Passo 5

Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por 1y , dy = 1t , dt e multiplicar por :
Dessa forma, todas as partes que envolvem estão de um lado e as que envolvem estão do outro.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1y , dy = integral 1t , dt
As integrais nos vão ajudar a encontrar a função .

Passo 7

Resolvendo as integrais, temos:
ln |y| = ln |t| + C
onde é a constante de integração. Podemos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos.

Resposta

Exponentiando ambos os lados, obtemos:
y = K , t
onde y = K t é uma constante qualquer. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

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