Calcule as seguintes integrais:
integral xraiz2+3 x d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral indefinida integral xraiz2+3x,dx. O conteúdo aqui é o método de substituição em integrais, onde a gente escolhe uma parte da expressão que simplifica a raiz e aplica a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = 2 + 3x. Assim temos:

Passo 3

  1. Calcular du:
du = 3,dx
e logo
dx = du3

Passo 4

  1. Expressar x em função de u:
x = u - 23

Passo 5

  1. Reescrever a integral original em termos de u:
integral xraiz2+3x,dx = integral u-23raizu cdot du3 = 19integral l(u-2r)u^-tfrac12,du

Passo 6

  1. Distribuir e integrar termo a termo:
19integral l(u^1/2 - 2u^-1/2r)du = 19(integral u^1/2du - 2integral u^-1/2du)
Aplicando a fórmula integral u^n du = u^n+1n+1:
19l(u^3/23/2 - 2cdotu^1/21/2r) + C = 19l(23u^3/2 - 4u^1/2r) + C

Passo 7

  1. Substituir u = 2 + 3x de volta e simplificar constantes:
227(2+3x)^3/2 - 49(2+3x)^1/2 + C

Resposta

227(2+3x)^3/2 - 49(2+3x)^1/2 + C

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