Seja f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y) . Mostrar que

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=tfrac12l(a^x + a^-xr) com a>0 e pede para mostrar que f(x+y)+f(x-y)=2,f(x),f(y). Vamos usar propriedades de exponenciais para provar essa identidade. Começamos lembrando que a^u+v=a^u a^v e a^-(u+v)=a^-ua^-v.

Passo 2

Escrevemos explicitamente f(x+y) e f(x-y):
f(x+y)=tfrac12l(a^x+y+a^-(x+y)r),
f(x-y)=tfrac12l(a^x-y+a^-(x-y)r)

Passo 3

Somamos as duas expressões:
f(x+y)+f(x-y) =tfrac12l(a^x+y+a^-(x+y)+a^x-y+a^-(x-y)r)
Agora agrupamos termos com base em a^x e a^-x:
a^x+y+a^x-y=a^xl(a^y+a^-yr),
a^-(x+y)+a^-(x-y)=a^-xl(a^y+a^-yr)

Passo 4

Substituindo no somatório, temos:
f(x+y)+f(x-y) =tfrac12l[a^x(a^y+a^-y)+a^-x(a^y+a^-y)r] =tfrac12l(a^y+a^-yr)l(a^x+a^-xr)
Mas tfrac12(a^y+a^-y)=f(y) e tfrac12(a^x+a^-x)=f(x). Portanto:
f(x+y)+f(x-y)=2,f(x),f(y)

Resposta

A identidade está provada: f(x+y)+f(x-y)=2,f(x),f(y).

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