Seja f(x)=raiz[3]x^3-x^2 sen(raiz[3]x).
(a) Calcule f^prime(3).
(b) Calcule f^prime(0).
© Seja g(x)=(5+f(x))(2 x+3 sec x)x+tg x+4, onde f é a função dada acima. Calcule g^prime(0).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=raiz[3]x^3-x^2,sin(raiz[3]x) e pede (a) f'(3), (b) f'(0) e ©, para , calcular g(x)=dfrac(5+f(x))(2x+3sec x)x+tg x+4. Vamos precisar de derivadas: regra do produto, cadeia e, no caso de g'(0), regra do quociente.

Passo 2

Para f'(x) usamos f(x)=u(x)^1/3cdotsin(v(x)) com u(x)=x^3-x^2 e v(x)=x^1/3. Então
f'(x)=u(x)^1/3cos(v(x)),v'(x)+sin(v(x))cdot13u(x)^-2/3u'(x)

Passo 3

Calculando os componentes: u'(x)=3x^2-2x e v'(x)=tfrac13x^-2/3. Avaliando em x=3:
u(3)=18, v(3)=3^1/3, u'(3)=21, v'(3)=133^-2/3

Passo 4

Substituindo em f'(x) obtemos
f'(3)=18^1/3cos(3^1/3)cdot133^-2/3+sin(3^1/3)cdot13,18^-2/3,21

Passo 5

Simplificando potências de 18 e 3 dá
f'(3)=2^1/33cos(3^1/3)+7,2^-2/3,3^-1/3sin(3^1/3)

Passo 6

Para f'(0), note que f(0)=0 e perto de zero
f(x)=l(x^3-x^2r)^1/3sin(x^1/3)=(x^2(x-1))^1/3sin(x^1/3)approx -x,
pois (x-1)^1/3to-1 e sin(x^1/3)approx x^1/3. Logo
f'(0)=limxto0f(x)x=-1

Passo 7

Agora para g(x)=dfracN(x)D(x) com

usamos N(x)=(5+f(x))(2x+3sec x), D(x)=x+tg x+4,. Em g'(x)=dfracN'(x)D(x)-N(x)D'(x)D(x)^2:
x=0

Passo 8

Passo 9

Avaliando em x=0 N'(0)=-1cdot3+5cdot2=7 e D'(0)=2. Logo
g'(0)=7cdot4-15cdot24^2=-18

Resposta

f'(3)=2^1/33cosl(3^1/3r)+7,2^-2/3,3^-1/3sinl(3^1/3r), f'(0)=-1, g'(0)=-tfrac18

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