Calcule as seguintes integrais:
integral0^+infty e^-t sen t d t

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral0^+infty e^-t sin t , dt. Esse exercício envolve cálculo de integrais impropriamente definidas, onde os limites vão até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral que vai até o infinito, precisamos verificar se ela converge, ou seja, se tem um valor finito. No nosso caso, a função e^-t sin t combina uma função exponencial decrescente ( e^-t) com uma função senoidal que oscila ( sin t).

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula padrão de integração para o produto de uma exponencial e uma função seno:
integral e^-at sin(bt) , dt = ba^2 + b^2
onde a e b são constantes positivas.

Passo 4

No nosso caso, comparando com a fórmula, temos a = 1 e b = 1. Vamos substituir esses valores na fórmula:
integral0^+infty e^-t sin t , dt = 11^2 + 1^2 = 12

Resposta

A integral integral0^+infty e^-t sin t , dt é igual a 12.

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