Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções que incluem logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar
e
separadamente e aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes diferentes:
Assim, resolvemos cada integral individualmente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
. Para integrar o logaritmo natural, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Para
:
Para
,
tende a 0 (usando o limite), e
também é 0:
Portanto, a primeira integral resulta em:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
. A integral da função
é conhecida e é:
Aplicando os limites de 0 a 1:
No entanto, ao tentar substituir
, percebemos que
e
tendem ao infinito, o que significa que a integral diverge (não converge para um valor finito).
Passo 5
Como a segunda integral não converge, o resultado total da integral original também não é finito. Portanto, a integral
não possui um valor definido, pois uma das partes diverge.
Resposta
A integral
não converge, ou seja, não possui um valor finito.