Calcule as seguintes integrais: integral0^1 ln x-cossec x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções que incluem logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar e separadamente e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes diferentes:
integral0^1 ln x , dx - integral0^1 csc x , dx
Assim, resolvemos cada integral individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: u = ln x e dv = dx . Para integrar o logaritmo natural, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
du = 1x dx e v = x
Calculando integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C e [ x ln x - x ]0^1 :
1 cdot ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1
Aplicando a fórmula de integração por partes 0 - 0 = 0 :
-1 - 0 = -1
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Para :
Para , tende a 0 (usando o limite), e também é 0:
Portanto, a primeira integral resulta em:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral csc x , dx = -ln|csc x + cot x| + C . A integral da função [ -ln|csc x + cot x| ]0^1 é conhecida e é:
Aplicando os limites de 0 a 1:
No entanto, ao tentar substituir , percebemos que e tendem ao infinito, o que significa que a integral diverge (não converge para um valor finito).

Passo 5

Como a segunda integral não converge, o resultado total da integral original também não é finito. Portanto, a integral não possui um valor definido, pois uma das partes diverge.

Resposta

A integral não converge, ou seja, não possui um valor finito.

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