Determine o conjunto onde a função é contínua. Justifique sua resposta.
F(t) = ln(t^2 - 1) * i + t / (t - 2) * j + 3 * raiz(4 - t) * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar onde a função é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções, e para descobrir onde é contínua, precisamos verificar onde cada componente dessa função está contínua. Vamos precisar analisar cada parte da função separadamente para ver onde elas funcionam direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte . O logaritmo natural só funciona quando o que está dentro dele é positivo. Então, temos que . Vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que , ou seja, ou . Então, essa parte da função está definida e contínua para nesses intervalos.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: . Aqui, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe. Então, , o que dá:
Portanto, essa parte da função está contínua para todos os exceto .

Passo 4

Por último, temos . A raiz quadrada só é real quando o que está dentro dela é não negativo. Então, precisamos que:
Isso simplifica para . Assim, essa parte da função está contínua para menores ou iguais a 4.

Passo 5

Agora que analisamos cada parte, vamos juntar tudo. A função será contínua apenas onde todas as três partes estão contínuas ao mesmo tempo. Ou seja:
  1. ou (do logaritmo),
  2. (da fração),
  3. (da raiz quadrada).
Vamos combinar essas condições. Para e , temos , mas excluindo . E também temos a parte que já está dentro de .

Resposta

A função é contínua para todos os valores de em:
Em notação de intervalos, fica:

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