Determine o conjunto onde a função é contínua. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar onde a função
é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções, e para descobrir onde
é contínua, precisamos verificar onde cada componente dessa função está contínua. Vamos precisar analisar cada parte da função separadamente para ver onde elas funcionam direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte
. O logaritmo natural só funciona quando o que está dentro dele é positivo. Então, temos que
. Vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que
, ou seja,
ou
. Então, essa parte da função está definida e contínua para
nesses intervalos.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte:
. Aqui, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe. Então,
, o que dá:
Portanto, essa parte da função está contínua para todos os
exceto
.
Passo 4
Por último, temos
. A raiz quadrada só é real quando o que está dentro dela é não negativo. Então, precisamos que:
Isso simplifica para
. Assim, essa parte da função está contínua para
menores ou iguais a 4.
Passo 5
Agora que analisamos cada parte, vamos juntar tudo. A função
será contínua apenas onde todas as três partes estão contínuas ao mesmo tempo. Ou seja:
-
ou (do logaritmo), -
(da fração), -
(da raiz quadrada).
Vamos combinar essas condições. Para
e
, temos
, mas excluindo
. E também temos a parte
que já está dentro de
.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
em:
Em notação de intervalos, fica: