Seja R a região (limitada) delimitada pelos gráficos das funções y = x + 5 e y = x^2 + 2x - 1 e pelo eixo y.
Faça o esboço de R;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções: e . Além disso, estamos considerando o eixo y como um dos limites da região . O conteúdo envolvido aqui é a análise de gráficos de funções e a identificação de regiões delimitadas por eles. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas funções se cruzam e como elas se relacionam com o eixo y.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas funções e . Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de substituindo de volta em uma das equações, por exemplo, em :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, vamos considerar o eixo y, que é a linha . Precisamos identificar onde cada uma das funções intercepta o eixo y.
Para , quando :
Ponto de interseção com o eixo y: .
Para , quando :
Ponto de interseção com o eixo y: .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plotar os pontos de interseção das funções: e .
  2. Plotar os pontos onde cada função intersecta o eixo y: para e para .
  3. Desenhar as curvas das funções:
    • é uma reta que passa pelos pontos e .
    • é uma parábola que passa pelos pontos , e .
  4. Identificar a região delimitada por essas curvas e pelo eixo y.

Resposta

O esboço da região apresenta uma área delimitada pela reta , a parábola e pelo eixo y. Os pontos de interseção são e , com as interseções na origem sendo e . A região é a área fechada formada por essas curvas no gráfico.

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