O centro de massa de uma barra de comprimento L é definido por:
onde é a densidade linear do material da barra. Encontre o centro de massa de uma barra de comprimento , cuja densidade é dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o centro de massa de uma barra. A gente tem uma barra de comprimento metro, e a densidade da barra varia de acordo com a posição na barra, sendo dada por . O que vamos precisar usar aqui são as fórmulas de centro de massa para distribuições contínuas de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do centro de massa para uma barra:
Aqui, o numerador calcula a “momento” da massa em relação à origem, e o denominador é a massa total da barra.
Passo 3
Vamos calcular o denominador, que é a massa total da barra:
Integrando :
Avaliando de 0 a 1:
Então, a massa total é kg.
Passo 4
Agora, vamos calcular o numerador, que é a integral de :
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
⇒
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Integrando :
Então, substituindo de volta:
Avaliando de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, o numerador é .
Passo 5
Agora que temos o numerador e o denominador, podemos calcular o centro de massa:
CM = 1pi2pi = 12 metros
Resposta
O centro de massa da barra está localizado a metro do início da barra.