O centro de massa de uma barra de comprimento L é definido por:
CM=integral0^L x rho(x) d xintegral0^L x(x) d x
onde rho(x) é a densidade linear do material da barra. Encontre o centro de massa de uma barra de comprimento L=1 m, cuja densidade é dada por rho(x)=sen pi x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o centro de massa de uma barra. A gente tem uma barra de comprimento metro, e a densidade da barra varia de acordo com a posição na barra, sendo dada por . O que vamos precisar usar aqui são as fórmulas de centro de massa para distribuições contínuas de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do centro de massa CM = integral0^L x rho(x) , dxintegral0^L rho(x) , dx para uma barra:
Aqui, o numerador calcula a “momento” da massa em relação à origem, e o denominador é a massa total da barra.

Passo 3

Vamos calcular o denominador, que é a massa total da barra:
Massa total = integral0^1 sin(pi x) , dx
Integrando integral sin(pi x) , dx = -1pi cos(pi x) + C :
-1pi cos(pi cdot 1) + 1pi cos(pi cdot 0) = -1pi (-1) + 1pi (1) = 1pi + 1pi = 2pi
Avaliando de 0 a 1:
Então, a massa total é kg.

Passo 4

Agora, vamos calcular o numerador, que é a integral de integral0^1 x sin(pi x) , dx :
- xpi cos(pi x) + 1pi integral cos(pi x) , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
  • integral cos(pi x) , dx = 1pi sin(pi x) + C - xpi cos(pi x) + 1pi^2 sin(pi x) gr|0^1
  • - 1pi cos(pi) + 1pi^2 sin(pi) = - 1pi (-1) + 0 = 1pi - 0pi cos(0) + 1pi^2 sin(0) = 0 + 0 = 0
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Integrando :
Então, substituindo de volta:
Avaliando de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, o numerador é .

Passo 5

Agora que temos o numerador e o denominador, podemos calcular o centro de massa:
CM = 1pi2pi = 12 metros

Resposta

O centro de massa da barra está localizado a metro do início da barra.

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