Calcule as seguintes integrais: integral0^pi2 cos (x)raizsen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente substituição -substituição, para simplificar e resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Olhando para , percebemos que o numerador é a derivada de . Isso sugere que podemos fazer uma substituição .

Passo 3

Com a substituição du = cos(x) , dx , calculamos a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos alterar os limites de integração para u = sin(0) = 0 . Quando u = sin(pi2) = 1 :
E quando :
Portanto, os novos limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral0^pi2 cos(x)raizsin(x) , dx = integral0^1 1raizu , du
Isso simplifica a integral para:
integral0^1 u^-12 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^-12 , du = 2u^12 + C = 2raizu + C . A integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Aqui, , então:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 2raizu |0^1 = 2raiz1 - 2raiz0 = 2 times 1 - 2 times 0 = 2 a :

Resposta

A integral é igual a 2.

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