Uma partícula move-se segundo a lei r(t) = 2 cos(2t) i + 3 cos(t) j.
Esboce a trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula está se movendo de acordo com a lei da posição . Nosso objetivo aqui é esboçar a trajetória dessa partícula. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento paramétrico e como eliminar a variável tempo para encontrar a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes e da posição:
Aqui, e nos dão a posição da partícula nos eixos e em função do tempo .

Passo 3

Para esboçar a trajetória, precisamos encontrar uma relação entre e sem o . Isso significa que devemos eliminar a variável das duas equações. Vamos começar resolvendo uma das equações para e substituir na outra.

Passo 4

Olhemos para a equação de :
Podemos isolar :

Passo 5

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para , que aparece na equação de . Sabemos que:
Substituindo por :

Passo 6

Agora, vamos substituir na equação de :

Passo 7

Agora temos uma relação direta entre e :
Essa é a equação da trajetória da partícula em termos de e .

Resposta

A trajetória da partícula é dada pela parábola . Ao esboçar, teremos uma parábola que abre para o lado positivo do eixo deslocada 2 unidades para a esquerda.

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