Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi2 sen 2 x cos 3 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é do tipo trigonométrica. O que a gente tem aqui é a integral de sin(2x) cos(3x) de 0 até pi2. Para resolver isso, vamos precisar usar umas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B)2
Aplicando isso na nossa integral, onde A = 2x e B = 3x, temos:
sin(2x) cos(3x) = sin(2x + 3x) + sin(2x - 3x)2 = sin(5x) + sin(-x)2
E como sin(-x) = -sin(x), isso fica:
sin(2x) cos(3x) = sin(5x) - sin(x)2

Passo 3

Agora, vamos substituir isso na integral original:
integral0^pi2 sin(2x) cos(3x) , dx = integral0^pi2 sin(5x) - sin(x)2 , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
12 integral0^pi2 sin(5x) , dx - 12 integral0^pi2 sin(x) , dx
Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Integral de sin(5x):
integral sin(5x) , dx = -cos(5x)5 + C
Então, de 0 até pi2:
-cos(5x)5 g|0^pi2 = -cos(5pi2)5 + cos(0)5 = -05 + 15 = 15
  1. Integral de sin(x):
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Então, de 0 até pi2:
-cos(x) g|0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1

Resposta

Juntando tudo, temos:
12 times 15 - 12 times 1 = 110 - 12 = -25
Portanto, o valor da integral é -25.

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