Faça um resumo da seção 15.9 do livro texto, explicando especialmente como funciona o sistema de coordenadas esféricas, em que situação o seu uso é mais indicado e como é feito o cálculo de integrais triplas em coordenadas esféricas.

Passo 1

Nesta seção vemos como mudar de coordenadas cartesianas para o sistema esférico para avaliar integrais triplas de forma mais prática quando a região de integração tem simetria esférica.

Passo 2

No sistema de coordenadas esféricas cada ponto $(x,y,z)$ é representado por três parâmetros:
– $ρ$ é a distância da origem até o ponto.
– $θ$ é o ângulo no plano xy, contado a partir do eixo x positivo (igual ao ângulo em coordenadas polares).
– $φ$ é o ângulo entre o raio vetor e o eixo z positivo; varia de 0 (no polo norte) a $π$ (no polo sul).
As relações entre as coordenadas são:
(x,y,z)

Passo 3

O uso de coordenadas esféricas é indicado sempre que a região de integração ou o integrando tenham simetria em torno de um ponto (a origem) ou sejam definidos naturalmente por esferas e cones, por exemplo:
– Esfera de raio fixo $ρ = a$.
– Região limitada entre duas esferas concêntricas $a \le ρ \le b$.
– Região dentro de um cone $φ = constante$.

Passo 4

Para passar da integral tripla em cartesianas
integral triplaD f(x,y,z),dx,dy,dz
para esféricas precisamos do fator de escala que transforma o elemento de volume. Esse fator (Jacobiano) é
dV = ρ^2 sin φ,dρ,dφ,dθ
Ele surge porque, ao expandir o pequeno volume em ρ, φ e θ, obtemos um paralelepípedo cujo volume é $ρ^2 \sin φ,dρ,dφ,dθ$.

Passo 5

Assim, a integral em esféricas fica:
integral triplaD f(x,y,z),dx,dy,dz = integralθ=θ1^θ2integralφ=φ1^φ2integralρ=ρ1(φ,θ)^ρ2(φ,θ) fl(ρsin φcos θ,,ρsin φsin θ,,ρcos φr),ρ^2sin φ,dρ,dφ,dθ
Os limites de integração em $ρ,φ,θ$ vêm da descrição da região $D$ em termos dessas variáveis.

Passo 6

Em resumo, para calcular uma integral tripla em coordenadas esféricas:
  1. Descreva a região $D$ em função de $ρ,φ,θ$ e determine os limites.
  2. Substitua $(x,y,z)$ pelas expressões em função de $ρ,φ,θ$.
  3. Inclua o fator $ρ^2\sin φ$ no integrando.
  4. Integre sucessivamente em $ρ$, depois $φ$ e por fim $θ$.

Resposta

A seção 15.9 apresenta o método de coordenadas esféricas para avaliar integrais triplas em regiões com simetria esférica. Nesse sistema usamos as variáveis:
– $ρ$: distância da origem até o ponto,
– $θ$: ângulo no plano xy,
– $φ$: ângulo em relação ao eixo z.
Elas se relacionam a $(x,y,z)$ por
ρ
O elemento de volume é $dV=ρ^2\sin φ,dρ,dφ,dθ$, resultado do Jacobiano da transformação. Esse sistema é indicado quando a região $D$ é descrita naturalmente por esferas ou cones, pois facilita muito a montagem dos limites de integração. A integral tripla passa a ser
θ
Em quatro passos práticos: (1) descreva $D$ em $(ρ,φ,θ)$, (2) faça as subsstituições de $(x,y,z)$, (3) inclua o fator $ρ^2\sin φ$ e (4) execute as integrais pela ordem $dρ$, $dφ$, $dθ$. Dessa forma você aproveita toda a simetria esférica e simplifica muito o cálculo.

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