Considere a função f(x)=2 x^3-2 x^2+5. Determine todos os pontos do gráfico de f nos quais a reta tangente é: a) horizontal;
b) paralela à reta 2 y-20 x-50=0
c) perpendicular à reta 4 y+ 2 x-10=0.
a) Pontos: (0,5) e (2 / 3,127 / 27)
b) Pontos: (-1,0) e (5 / 3,235 / 27)
c) Pontos: (1,5) e (-1 / 3,127 / 27)

Passo 1

O enunciado dá a função ;f(x)=2x^3-2x^2+5; e pede os pontos em que a reta tangente é
  • horizontal;
  • paralela à reta 2y-20x-50=0;
  • perpendicular à reta 4y+2x-10=0.
    Para isso, vamos usar a derivada f'(x), que fornece o declive da reta tangente em cada x.

Passo 2

Derivando termo a termo,
f'(x)=ddx(2x^3)-ddx(2x^2)+ddx(5) =6x^2-4x+0 =6x^2-4x
Logo, o declive da tangente em x é m=f'(x)=6x^2-4x.

Passo 3

Tangente horizontal ocorre quando m=0. Então
6x^2-4x=0 ;Longrightarrow; 2x(3x-2)=0 ;Longrightarrow; x=0ou x=23
Calculando os pontos:
f(0)=5, fl(tfrac23r)=2l(tfrac23r)^3-2l(tfrac23r)^2+5 =12727
Assim os pontos são (0,5) e l(tfrac23,tfrac12727r).

Passo 4

Para reta paralela a 2y-20x-50=0, escrevemos
2y=20x+50 ;Longrightarrow; y=10x+25,
logo o declive desejado é m=10. Impomos f'(x)=10:
6x^2-4x=10 ;Longrightarrow; 6x^2-4x-10=0 ;Longrightarrow; 3x^2-2x-5=0
Resolvendo,
x=2pmraiz4+606=2pm86 ;Longrightarrow; x=-1ou x=53
Calculando f nesses x:
f(-1)=2(-1)^3-2(-1)^2+5=1, fl(tfrac53r)=23527
Logo os pontos são (-1,1) e l(tfrac53,tfrac23527r).

Passo 5

Para reta perpendicular a 4y+2x-10=0, primeiro achamos o declive desta:
4y=-2x+10 ;Longrightarrow; y=-tfrac12x+tfrac52 ;Longrightarrow; mreta=-tfrac12
O declive perpendicular é o negativo do inverso:
mperp=-1mreta=2
Impondo f'(x)=2:
6x^2-4x=2 ;Longrightarrow; 6x^2-4x-2=0 ;Longrightarrow; 3x^2-2x-1=0
x=2pmraiz4+126=2pm46 ;Longrightarrow; x=1ou x=-tfrac13
Calculando f:
f(1)=5, fl(-tfrac13r)=12727
Logo os pontos são (1,5) e l(-tfrac13,tfrac12727r).

Resposta

a) (0,5), l(tfrac23,tfrac12727r)
b) (-1,1), l(tfrac53,tfrac23527r)
c) (1,5), l(-tfrac13,tfrac12727r)

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