Calcule as seguintes integrais:
integral3^4 x raiz4-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral3^4 xraiz4-x,dx. Estamos no tópico de integrais definidas de funções envolvendo raízes, e para resolver vamos usar o método de substituição simples para eliminar a raiz.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 4 - x. Assim, du = -dx e x = 4 - u. Quando x = 3, temos u = 1; quando x = 4, temos u = 0.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u e ajustando os limites, obtemos:
integral3^4 xraiz4-x,dx = integralu=1^u=0 (4 - u) raizu ;(-du)
Invertendo os limites para tirar o sinal negativo, fica
integral0^1 (4 - u) u^1/2,du

Passo 4

Agora expandimos o integrando e integramos termo a termo usando integral u^pdu = tfracu^p+1p+1:
integral0^1(4u^1/2 - u^3/2),du = 4integral0^1u^1/2du - integral0^1u^3/2du
Calculando cada parte:
4integral0^1u^1/2du = 4cdotu^3/23/2|0^1 = 83,
integral0^1u^3/2du = u^5/25/2|0^1 = 25

Passo 5

Subtraindo e obtendo o valor final da integral:
83 - 25 = 4015 - 615 = 3415

Resposta

3415

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