Sejam y=10^11-log 10 x, z=10^11-log 10 y. Mostre que x=10^11-log 10 z

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados
y=10^11-log10x e z=10^11-log10y, vale
x=10^11-log10z. O conteúdo envolvido é logaritmo e exponenciação base 10, e vamos usar as propriedades de logaritmo, especialmente log10(10^u)=u e manipulação de frações.

Passo 2

Para começar, aplicamos log10 em y para converter a exponenciação em produto:
log10y=log10l(10^11-log10xr)=11-log10x

Passo 3

Em seguida, aplicamos log10 em z, usando o resultado anterior para expressar log10z em função de log10x:
log10z=log10l(10^11-log10yr)=11-log10y= 11-l(tfrac11-log10xr)

Passo 4

Agora simplificamos a expressão de 1-log10z. Seja A=1-log10x. Então
1-log10z=1-11-tfrac1A=1-1tfracA-1A=1-AA-1= (A-1)-AA-1=-1A-1
Como A-1=(1-log10x)-1=-log10x, temos
1-log10z=-1-log10x=1log10x

Passo 5

Para concluir, invertendo 1-log10z obtemos
11-log10z=log10x,
e portanto
10^11-log10z=10^log10x=x

Passo 6

Mostramos assim que x=10^tfrac11-log10z, como era para ser provado.

Resposta

x=10^{\tfrac{1}{1-\log_{10}z}}

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