Sejam
tal que se tenha
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá que
o que envolve manipulações com logaritmos e expoentes. Vamos precisar usar álgebra elementar, propriedades de logaritmo e a ideia de comparar razões e depois passar ao exponencial para concluir a igualdade entre as potências.
Passo 2
Definimos a constante comum
Assim obtemos três equações:
Passo 3
Façamos o produto da primeira equação por
e da segunda por
, isto é,
Reescrevendo, passamos todos os termos com
de um lado:
Passo 4
Observe que
Logo podemos fatorar a diferença de logs:
Como
e
em geral não são zero (caso fossem, teríamos iguais duas das variáveis e aí a conclusão é imediata), concluímos
Passo 5
Repetindo o argumento entre os pares
e
, chegamos também a
Então todas as três frações
são iguais.
Passo 6
Para finalizar, usamos essas igualdades de logaritmo para comparar as potências. Por exemplo,
e
Como
, escrevemos
,
,
para alguma constante
. Então
e
Portanto se
e
as igualdades de logaritmo dão imediatamente
Como pelo enunciado a mesma constante
vale para todos, concluímos
Analogamente, obtém-se
Resposta
x{y}y{x}=z{y}y{z}=x{z}z{x}