Sejam x, y, z tal que se tenha
x(y+z-x)log x=y(z+x-y)log y=z(x+y-z)log z
Mostre que x^y y^x=z^y y^z=x^z z^x

Passo 1

O enunciado dá que
x(y+z-x)log x=y(z+x-y)log y=z(x+y-z)log z,
o que envolve manipulações com logaritmos e expoentes. Vamos precisar usar álgebra elementar, propriedades de logaritmo e a ideia de comparar razões e depois passar ao exponencial para concluir a igualdade entre as potências.

Passo 2

Definimos a constante comum
k=x(y+z-x)log x=y(z+x-y)log y=z(x+y-z)log z
Assim obtemos três equações:
log x = x(y+z-x)k, log y = y(z+x-y)k, log z = z(x+y-z)k

Passo 3

Façamos o produto da primeira equação por log y e da segunda por log x, isto é,
x(y+z-x),log y = y(z+x-y),log x
Reescrevendo, passamos todos os termos com log de um lado:
x(y+z-x),log y - y(z+x-y),log x = 0

Passo 4

Observe que
x(y+z-x) - y(z+x-y) = x y + xz - x^2 - (y z + xy - y^2) = (y - x)(x+y-z)
Logo podemos fatorar a diferença de logs:
(x+y-z)(y - x)l(log yy - log xxr)=0
Como x+y-z e (y-x) em geral não são zero (caso fossem, teríamos iguais duas das variáveis e aí a conclusão é imediata), concluímos
log yy = log xx

Passo 5

Repetindo o argumento entre os pares (y,z) e (z,x), chegamos também a
log zz = log yy = log xx
Então todas as três frações dfraclog tt são iguais.

Passo 6

Para finalizar, usamos essas igualdades de logaritmo para comparar as potências. Por exemplo,
lnl(x^y y^xr)=yln x + xln y
e
lnl(z^y y^zr)=yln z + zln y
Como ln x/x=ln y/y=ln z/z, escrevemos ln x=Ax, ln y=Ay, ln z=Az para alguma constante A. Então
yln x + xln y = y(Ax)+x(Ay)=2Axy
e
yln z + zln y = y(Az)+z(Ay)=2Ayz
Portanto se x,y,z>0 e ln x/x=ln y/y=ln z/z as igualdades de logaritmo dão imediatamente
x^y y^x = e^2Axy, z^y y^z = e^2Ayz
Como pelo enunciado a mesma constante A vale para todos, concluímos
x^y y^x = z^y y^z
Analogamente, obtém-se
x^y y^x = x^z z^xe z^y y^z = x^z z^x

Resposta

x{y}y{x}=z{y}y{z}=x{z}z{x}

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