Calcule as seguintes integrais:
integral4^infty e^-y / 2 d y

Passo 1

Então, neste exercício a gente vai calcular a integral imprópria
integral4^infty e^-y/2,dy
O assunto é integral de função exponencial com limite infinito. Para resolver precisamos:
  1. transformar o limite infinito num parâmetro (b);
  2. lembrar como integrar e^ky;
  3. aplicar os limites e, por fim, tomar o limite quando btoinfty.

Passo 2

Pra lidar com o infinito, escrevemos
integral4^infty e^-y/2,dy = limbtoinftyintegral4^b e^-y/2,dy
Isso define a integral imprópria como um limite de integrais definidas normais.

Passo 3

Agora calculamos a integral indefinida. Na teoria de integrais existe a regra
integral e^k,y,dy = 1k,e^k,y + C
Aqui k=-tfrac12, então
integral e^-y/2,dy = 1-1/2,e^-y/2 + C = -2,e^-y/2 + C

Passo 4

Avaliando de y=4 até y=b:
integral4^b e^-y/2,dy = l[-2,e^-y/2r]4^b = -2,e^-b/2 - l(-2,e^-4/2r) = -2,e^-b/2 + 2,e^-2

Passo 5

Agora é só tomar o limite quando btoinfty. Como e^-b/2to0 (o expoente vai a -infty), sobra
limbtoinftyl(-2,e^-b/2 + 2,e^-2r) = 2,e^-2

Resposta

2e^-2

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