Determine as integrais abaixo:
integral 3 z+1(z^2-4)^2 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3z+1l(z^2-4r)^2,dz
Este é um quociente de polinômios cujo denominador se fatora como (z-2)^2(z+2)^2. Vamos usar o método de frações parciais para transformá-la em somas de integrais elementares.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais
3z+1(z-2)^2(z+2)^2 =Az-2+B(z-2)^2+Cz+2+D(z+2)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (z-2)^2(z+2)^2 e agrupando termos, obtém-se a identidade
3z+1 = A,(z-2)(z+2)^2 + B,(z+2)^2 + C,(z+2)(z-2)^2 + D,(z-2)^2
Igualando coeficientes de z^3,z^2,z^1,z^0 resulta o sistema
A + C = 0, 2A + B -2C + D = 0, -4A +4B -4C -4D = 3, -8A +4B +8C +4D = 1
Resolvendo, achamos
A=-tfrac132, B=tfrac716, C=tfrac132, D=-tfrac516

Passo 4

Substituindo esses valores na integral, temos
integral 3z+1(z^2-4)^2,dz =-tfrac132integraldzz-2 +tfrac716integraldz(z-2)^2 +tfrac132integraldzz+2 -tfrac516integraldz(z+2)^2

Passo 5

Usando
integraldzz-a=lnl|z-ar|, integraldz(z-a)^2=-1z-a,
obtemos
-tfrac132ln|z-2| -tfrac716,1z-2 +tfrac132ln|z+2| +tfrac516,1z+2 + C

Resposta

boxed 132,ln!l|tfracz+2z-2r| ;+;516,(z+2) ;-;716,(z-2) ;+;C

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