Questão 7. Resolva o problema de valor inicial:
l y^prime+5 x^4 y=x^4 y(0)=y0
  • Para quais valores de y0 a solução é crescente e para quais valores de y0 a solução é decrescente.
  • Qual o limite de y(x) quando x tende a +infty. O limite depende de y0 ?

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 5x^4y = x^4,
com condição inicial y(0)=y0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver e, a partir da solução explícita, estudar a monotonicidade e o limite quando xto+infty.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral 5x^4,dxr) = exp(x^5)
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
e^x^5y' + 5x^4e^x^5y = x^4e^x^5,
que é equivalente a
ddxl(e^x^5yr) = x^4e^x^5

Passo 3

Integramos em ambos os lados:
integral ddxl(e^x^5yr),dx = integral x^4e^x^5,dx
Fazendo a substituição t = x^5, dt = 5x^4dx, vem
integral x^4e^x^5,dx = 15e^x^5 + C
Logo
e^x^5y = 15e^x^5 + C Longrightarrow y = 15 + C,e^-,x^5

Passo 4

Impondo y(0)=y0 temos
y(0) = 15 + C = y0 Longrightarrow C = y0 - 15
Assim a solução geral é
y(x) = 15 + l(y0 - tfrac15r)e^-,x^5

Passo 5

Para estudar a monotonicidade, calculamos
y'(x) = l(y0-tfrac15r),ddxl(e^-x^5r) = l(y0-tfrac15r)l(-5x^4e^-x^5r) = -5x^4l(y0-tfrac15r)e^-x^5
Como x^4e^-x^5>0 para x>0:
  • Se y0>tfrac15, então y'(x)<0 e a solução é decrescente.
  • Se y0<tfrac15, então y'(x)>0 e a solução é crescente.
  • Se y0=tfrac15, então y'(x)=0 e a solução é constante.

Passo 6

Para xto+infty vale e^-x^5to 0, logo
limxto+inftyy(x) = 15
Esse limite é independente de y0.

Resposta

Para y0<tfrac15: solução crescente.
Para y0=tfrac15: solução constante.
Para y0>tfrac15: solução decrescente.
limxto+inftyy(x)=tfrac15, que não depende de y0.

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