Questão 7. Resolva o problema de valor inicial:
- Para quais valores de
a solução é crescente e para quais valores de
a solução é decrescente.
- Qual o limite de
quando
tende a
. O limite depende de
?
Passo 1
O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver e, a partir da solução explícita, estudar a monotonicidade e o limite quando
.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
obtemos
que é equivalente a
Passo 3
Integramos em ambos os lados:
Fazendo a substituição
,
, vem
Logo
Passo 4
Impondo
temos
Assim a solução geral é
Passo 5
Para estudar a monotonicidade, calculamos
Como
para
:
- Se
, então e a solução é decrescente. - Se
, então e a solução é crescente. - Se
, então e a solução é constante.
Passo 6
Para
vale
, logo
Esse limite é independente de
.
Resposta
Para
: solução crescente.
Para : solução constante.
Para : solução decrescente.
, que não depende de
.
Para
Para