Determine as integrais abaixo:
integral1^2 w-3w^3+w^2 d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2w-3w^3+w^2,dw
O conteúdo principal aqui é integração de função racional: vamos fatorar o denominador e usar frações parciais para depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
w^3+w^2=w^2(w+1)
Logo
w-3w^3+w^2 =w-3w^2(w+1) =Aw+Bw^2+Cw+1
Multiplicando ambos os lados por w^2(w+1) obtemos
w-3 = A,w(w+1)+B,(w+1)+C,w^2

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Assim e .

Passo 4

A decomposição fica
w-3w^2(w+1) =4w-3w^2-4w+1
Integrando termo a termo,
integral4w,dw=4ln|w|, integrall(-tfrac3w^2r),dw=-3integral w^-2dw =-3l(-w^-1r)=3w, integrall(-tfrac4w+1r),dw=-4ln|w+1|
Logo uma primitiva é
F(w)=4ln|w|+3w-4ln|w+1|

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 2:
F(2)=4ln2+32-4ln3, F(1)=4ln1+3-4ln2=3-4ln2
Então
integral1^2w-3w^3+w^2,dw =F(2)-F(1) =l(4ln2+tfrac32-4ln3r)-l(3-4ln2r) =8ln2-4ln3-tfrac32
note que 8ln2-4ln3=4(2ln2-ln3)=4lnl(tfrac43r).

Resposta

4ln!l(tfrac43r)-32

Exercícios relacionados