Calcule as seguintes integrais:
integralD(x+y+1)(x-y)^6 d x d y, D é o quadrado |x|+|y| <= 1

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla de (x+y+1)(x-y)^6 sobre o quadrado em forma de losango definido por |x|+|y|<=1. O conteúdo principal envolve mudança de variáveis em integrais duplas, uso do jacobiano e aproveitamento de simetrias para avaliar o resultado de forma mais simples.

Passo 2

Para simplificar a expressão (x-y)^6 e a região, fazemos a mudança de variáveis
u = x - y, v = x + y
Nesse caso, invertendo,
x = u+v2, y = v-u2
O jacobiano dessa transformação é dado por
J = detpartial x/partial u & partial x/partial v[6pt]partial y/partial u & partial y/partial v = det1/2 & 1/2 -1/2 & 1/2 = tfrac12 ]

Passo 3

A região original satisfaz
|x| + |y| <= 1
e, em termos de u,v, nota-se que
|x|+|y| = |u+v| + |v-u|2 = maxl(|u|,|v|r) <= 1
pois vale sempre |a+b|+|a-b|=2max(|a|,|b|). Logo, em u,v a região vira o quadrado
-1 <= u <= 1, -1 <= v <= 1

Passo 4

Reescrevendo a integral na nova variável e incluindo o fator do jacobiano, temos
integral duplaD(x+y+1)(x-y)^6,dx,dy = integral dupla[-1,1]^2(v+1),u^6cdot12,du,dv
Como o integrando é produto de função só de u por função só de v, podemos separar:
= 12 l(integral-1^1 u^6,dur)l(integral-1^1(v+1),dvr)

Passo 5

Agora é só calcular cada integral:
– Como u^6 é par,
integral-1^1 u^6,du = 2integral0^1 u^6,du = 2cdot17 = 27
– Para v+1:
integral-1^1(v+1),dv = l[tfracv^22+vr]-1^1 = l(tfrac32r)-l(-tfrac12r)=2
Multiplicando:
12 cdot 27 cdot 2 = 27

Passo 6

Portanto, o valor da integral é tfrac27.

Resposta

2/7

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