O enunciado nos pede para calcular a integral dupla de sobre o quadrado em forma de losango definido por . O conteúdo principal envolve mudança de variáveis em integrais duplas, uso do jacobiano e aproveitamento de simetrias para avaliar o resultado de forma mais simples.
Passo 2
Para simplificar a expressão e a região, fazemos a mudança de variáveis
Nesse caso, invertendo,
O jacobiano dessa transformação é dado por
]
Passo 3
A região original satisfaz
|x| + |y| <= 1
e, em termos de u,v, nota-se que
|x|+|y| = |u+v| + |v-u|2 = maxl(|u|,|v|r) <= 1
pois vale sempre |a+b|+|a-b|=2max(|a|,|b|). Logo, em u,v a região vira o quadrado
-1 <= u <= 1, -1 <= v <= 1
Passo 4
Reescrevendo a integral na nova variável e incluindo o fator do jacobiano, temos
integral duplaD(x+y+1)(x-y)^6,dx,dy = integral dupla[-1,1]^2(v+1),u^6cdot12,du,dv
Como o integrando é produto de função só de u por função só de v, podemos separar: