Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+8 t y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler– Cauchy
t^2y'' + 8t,y' + 6y = 0
O conteúdo aqui é reconhecer que se trata de uma equação de Euler, para a qual fazemos o ansatz
y(t) = t^r,
transformando a equação diferencial em uma equação algébrica para r.

Passo 2

Assumindo y(t)=t^r, calculamos
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação original:
t^2l[r(r-1)t^r-2r] + 8tl[r,t^r-1r] + 6,t^r = 0

Passo 3

Fatorando t^r (e lembrando que t>0 para t^r bem definido), obtemos a equação característica em r:
r(r-1) + 8r + 6 = 0
Expandindo e reunindo termos:
r^2 + 7r + 6 = 0
As raízes dessa equação são
r1 = -1, r2 = -6

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^r1 + C2,t^r2 = C1,t^-1 + C2,t^-6,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t^-1 + C2,t^-6

Exercícios relacionados